§1.6 极限运算法则
极限语言只能证明极限，不能求极限。对于简单函数的极限问题，可以先用观察法看出其极限，再用极限语言加以证明，但对于一些形式复杂的函数，就不太容易观察出它的极限。
因此，研究函数极限的运算法则，便十分的必要。
【声明】
1、在下面的讨论中，只给出函数极限的运算法则，这些法则可相应地移植到数列极限。
2、在下面的讨论中，若
下面未标明自变量的变化趋势，表明对
及
均成立的。
【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。
【证明】考虑两个无穷小之和的情形。
设 
及 
均是当 
时无穷小， 而 
。
依无穷小的定义， 有:
只要取
，有
这表明 
是当 时的无穷小。
必须指出: 无限个无穷小之和不一定是无穷小。
【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
【证明】设函数 
在 
的某一邻域 
内有界
设 是当 时的无穷小。
下面证明 
是 时的无穷小
依函数有界的定义，有:
依无穷小的定义， 有:
取 
， 从而
这表明， 是 时的无穷小。
【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。
【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。
有一个问题: 无限多个无穷小的乘积是否为无穷小呢?
表面上，这一问题的答案是显然的，即:是无穷小。 其实却不然，因为无限多个数的乘法并没有定义。即: 我们并不会作无限多个数的乘法运算。
【定理三】(极限运算的分配律)
若 
，
，则
存在，且
。
【证明】因
， ， 由极限存在与无穷小的关系定理有:
(
是无穷小 )
于是 
由定理1，
是无穷小;
由定理2的推论1， 
是无穷小，
再由定理1，
是无穷小;
总之，
是无穷小。
利用极限与无穷小的关系有
高等数学中还有许多类似的性质，为此，我们对这一性质专门给出几点注解。
(1)、
和
均存在，则 
存在。
(2)、若存在，不存在，则不存在。
【反证法】记
， 假设 
存在
而
或 
由于
与 
均存在，据【定理三】有:
亦存在。 这与条件产生矛盾，故 
不存在。
(3)、
与 
均不存在， 则 
可能存在， 也可能不存在。
【反例】设
， 
，显然， 
与
均不存在
但是 
存在，
而 
不存在
【定理四】
若
，，则 
存在，且
。
定理四也有与定理三完全相同的四点注解，它还有两个重要的推论。
【推论一】
若
存在，
为常数， 则 
。
【推论二】
若
存在，
为正整数，则
。
【定理五】
若，，且
，则
存在，且
对商的极限运算法则， 应注意条件:
(1)、极限 
均存在。
(2)、作分母的函数
的极限 
。
当这两个条件中有一个不满足时， 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。
【定理六】
如果 
， 而 
、
， 则 
。
【证明】
作函数 
， 且 
。
由极限的保号性有: 
， 即
故 
。
必须指出：即使不等式 
严格成立， 结论仍然是
，不可以认为是 
。
例如：
、
表示圆的内接、外接正n边形的面积， 而
表示圆的面积。
显然，
，但 
。
运用上述结论，可帮助我们求大量的函数极限，大大地提高了求极限的能力，也避免了使用繁冗复杂的极限语言。当然，这些结论的获得得益于极限的精确语言。
首先，我们证明一个最基础，也最有用的结论:
设 
是任意实数，则 
【例1】
此极限可作一般性的推广：
【例2】 
可对此例作一般性的推广:
设 
是有理分式函数， 
与 
为
的多项式，若 
， 则 
。
【证明】由定理5与例1， 有
【例3】 求
【例4】 
对于有理分式函数
，当
时，不能使用商的极限法则来求极限
。例题三、例题四给出了解这类问题的两种基本方法：
